Thermoréacteur - Quatrième Génération

Bien qu’à ce jour nous ne puissions pas développer à loisir les détails relatifs au Thermoréacteur de 4e Génération qui intègre la compression thermique et la post-combustion, cependant, et sur le principe physico-mathématique, il est possible de présenter les hypothèses de bases avec leurs limitations :

Où l’on parle de la Poussée
Comme nous l’avons signifié supra, la vocation « génétique » du Thermoréacteur est de générer de la Poussée. Par ailleurs, outre sa consommation spécifique des plus avantageuse, son très faible encombrement permet de le loger directement dans les voilures, ce qui nous donne toute Liberté pour repenser totalement l’Architecture des Futurs Aéronefs.

Approche Théorique

Dans cette section, nous allons déterminer, comme pour la version « Puissance » du Thermoréacteur, tous les paramètres de commande et leurs sensibilités.

L’expression fondamentale qui détermine la Force de Poussée est :
F = DCol.VÉjection + STuyère.(PStatique – PAtmosphérique)

Où DCol est le débit continu à pression constante au Col en kg/s, VÉjection et PStatique sont la vitesse en m/s et la pression statique des Gaz Brûlés Éjectés dans le plan de sortie Tuyère. Et si la Tuyère est Adaptée : PStatique = PAtmosphérique, et la Poussée devient :

F = DCol.VÉjection

Le Débit a pour expression :

DCol = (γ/rTT)1/2.PT.SCol.M/[1 + ½.(γ -1).M2] (γ+1)/2.(γ-1)

Avec :
DCol : est le Débit mesuré au Col de la Chambre de combustion. C’est ce Col qui limite précisément le Débit de telle sorte qu’une fois atteint le Rapport Critique Pression, RC, à savoir le RC entre la Pression PT dans la Chambre de Combustion et la Pression Pa extérieure (atmosphérique)
telle que : RC = PT/Pa = [½ (γ +1)] γ/(γ-1), alors la Vitesse est Sonique au Col : M = 1 , dit « blocage sonique » tel que :

DCol = (γ/r.TT)1/2.PT.S.{1/[½.(γ+1)](γ +1)/2.(γ-1)}

TT et PT : Température et Pression Totales qui règnent dans la Chambre de Combustion à l’instant t. Puisque nous avons fait l’hypothèse des Gaz Parfaits et des Transformations Isentropiques, ces 2 paramètres sont liés par l’expression suivante :

TT / Ta = (PT / Pa)(γ-1)/γ

SCol : La Section au Col, variable et fonction du Temps, t.
r : La Constante des Gaz Parfait,
r = R/ MΣ où MΣ = MAir + Mcarb et r = r0.(λ  / λ+1
λ   = Dosage : Masse d’Air/Masse de Carburant
VÉjection : Vitesse d’Éjection des Gaz Brûlés dans le plan de Sortie de la Tuyère réputée Adaptée et donc : PStatique = PAtmophérique avec VÉjection = M Éjection.a Éjection

Le Col du Thermoréacteur en sa partie « Éjection » est la plus petite Section présentée par la Valve d’Éjection dans son logement au sein de la Chambre de Combustion. La Hauteur correspondante est ainsi notée H(θ) avec θ l’angle de référence de la Valve dans son mouvement de rotation, et θ = ω.t si ω rd/s est la Vitesse de Rotation de la Valve.
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À propos du design de cette Valve d’Échappement, celle-ci présente une géométrie qui définit le nombre de Pulses par tour : 3 Combustions / Tour. À comparer au Moteur 4 Temps à 1 seule Combustion / 2 Tours, et au Moteur 2 Temps à 1 Combustion /1 Tour

 

Design de la Valve d’Échappement
Les Rayons R0 et R1 sont ici dans une proportion telle que :

R0/R1 # θ0 = 0,5 rd

Bien entendu, il sera nécessaire de mener des études d’optimisation de ces différentes géométries selon les performances attendues.

Un exemple de Valve d’Échappement :
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Sur l’Évolution de la Section au Col d’Échappement et ses 2 ouvertures
Nous ne prendrons en compte que : 0 < θ < θ0 = 0,5 rd comme nous l’expliciterons plus après, et sur les 2 ouvertures :

2.H1(θ) = 2.[2.R1.sin(θ /2)]

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Sur le Débit Volumique

Notre approche de la Détente des Gaz Brûlés en fonction du Temps t, et au travers du Col de la Valve d’Échappement, est schématisée ainsi :
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Hypothèse Fondamentale : Comme au cours de la détente, le RC sera quasiment toujours atteint, la Vitesse au Col de la Valve d’Échappement sera telle que V = aCol et donc M = 1. De fait, pendant un temps dt, le Volume élémentaire qui s’échappe dans la Tuyère le fera à une vitesse sonique, aCol, elle-même dépendant de la Température TTotale qui règnera dans la Chambre de Combustion au temps t, qui, par nature, sera fonction de la Pression Totale, PTotale, en constante diminution, précisément du fait de sa détente dans la Tuyère;

Les fonctions et corrélations que nous allons utiliser sont les suivantes :
aCol = (γ.r.Tstatique)1/2 avec Tstatique = TTotale / [1 + ½.(γ-1).M2] avec, au Col, M = 1 :
Tstatique = 2.TTotale / (γ +1)

ACG-Aviation-Xplorair-Thermoréacteur-4eme-GenerationNotons dès à présent que les rapports de Chaleur Massique, γ, suivent les mêmes Lois Thermodynamiques que celles notés supra pour la Puissance, et évoluent donc avec les mêmes variations selon les plages de températures considérées.
Soit l’expression de la Vitesse au Col :
aCol = [2.γ.r.TTotale / (γ +1)]1/2 = VCol
Et dv le Volume élémentaire qui s’échappe de la Chambre de combustion pendant un temps dt :

dv = 2.l.H(θ).VCol.dt
Pour 0 < θ = ω.t  < θ0 = 0,5 rd : H1(θ) = 2.[2.R1.sin(θ /2)]

Ainsi, de la relation : P.vγ = Constante = P0.v0γ, on établit l’équation différentielle suivante :

dP.vγ + γ.P.v(γ -1).dv = 0

Nous résolvons alors cette équation différentielle qui relie la Pression P(t) aux différents paramètres du Thermoréacteur, pour obtenir son expression suivante :

π(θ) = P(t)/P0 = {1 + 4.[2.γ.(γ +1).r.T0]1/2.(R.l/ω.v0).[1 – cos(ω.t/2)]} - 2.γ /(γ +1)

Expression vraie pour : 0 < θ = ω.t < θ0 = 0,5 rd

Il nous reste une dernière relation à établir entre la Vitesse d’Éjection « mesurée » au droit du plan de sortie de la Tuyère, et chaque fois que celle-ci est dite « Adaptée » Nous déduisons cette expression à partir de la relation suivante :

PTotale = Pstatique [1 + ½(γ-1).M éject2] γ/(γ -1)

Nous en exprimons alors le Mach d’Éjection, M éjection, dans le plan de sortie en fonction de PTotale, et donc la Température Statique qui règne dans ce plan de sortie de la Tuyère, là où PStatique = Pa, et nous obtenons l’expression de la Vitesse du Son, toujours dans ce même plan, pour enfin aboutir à l’expression de la Vitesse d’Éjection :

VÉjection = {2.γ.r.T0/[(γ-1).(P0/Pa) (γ–1)/γ].[(PT/Pa) (γ–1)/2γ - 1]}1/2

Et le Débit au Col :

DCol = 4.R.l.γ/ [(γ.r.T0).(P0/Pa)(γ+1)/γ] 1/2.f(γ).sin(θ/2)

Avec toujours RE et l Rayon et largeur de la Valve d’Éjection

Enfin, et pour une Tuyère Adaptée, la Force de Poussée, F, s’écrit :

F = [2.l.γ.Pa / f(γ)].[π(θ)2 - π(θ) (γ +1)/γ]1/2.H(θ)

Avec f(γ). = {[½.(γ -1)].[½.(γ +1)] (γ + 1)/(γ - 1)}1/2 et H(θ) = 2.RE.sin(θ/2)
D’où :

F(θ) = [4.γ.RE.l.Pa/ f(γ)].[π(θ)2 - π(θ) (γ +1)/γ]1/2.sin(θ/2)

Dans ces conditions et avec :

γBrûlés.= 1,25 ; Pa = 1,013.105 Pas ; l = 12 cm ; RE = 4 cm ; ω = 120 rd/s ;
πInjection = 4 ; λ = 15 (mélange stœchiométrique) ; θ0 = 0,5 rd et avec l’approximation à moins de 1% pour 0 < θ < θ0 = 0,5 rd de :

[π(θ)2 - π(θ) (γ+1)/γ]1/2. = 0,66.π(θ)  – 0,6

alors : F(θ) = 84,34.R.l.[0,66.π(θ) – 0,6].sin(θ/2)

Ainsi, cette relation permet d’obtenir une expression analytique de la Poussée moyenne dans laquelle apparaissent tous les paramètres dimensionnant que sont :
RE : Rayon de la Valve d’Échappement (cm)
L : Largeur de la Chambre de Combustion (cm)
ω : Vitesse de Rotation de la Valve rd/s)
v0 = Volume de la Chambre de Combustion (litre)
θ0 = Angle de rotation jusqu’à l’ouverture maxi (rd)
πi = Pression d’Injection
π0 = 9. πi0,75 = Pression de fin de combustion

En posant : X = R.l/ω.v0 et Y = 1/[1 + A.X]
avec θ = θ0 et A = 4.[2.γ.(γ+1).r.T0]½.[1 – cos(θ0/2)].où T0 = 2 900 K
Voici l’expression de la Poussée moyenne calculée sur un cycle de 2.π/3 :
Fmoy = 14.(ω.v0).[1 – Y(γ-1)/(γ+1) + 5,36.X.Y2γ/(γ+1) – 0,3.X]

La poussée présente un extremum à 672 N pour : X = R.l/ω.v0 = 0,268
Ainsi, en fixant ω = 120 rd/s et v0 = 1,5 l nous obtenons que : R.l = 48
Si l = 12 cm, alors R = 4 cm
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Paramètres sensibles

Les paramètres explicites qui interviennent dans cette analyse sont :
R.l/ω.v0 : Produit du Rayon « R » de la valve d’injection par sa largeur « l » à l’intérieur de la chambre de combustion, divisé par le produit « ω » de la vitesse de rotation de ladite valve et du volume « v» de cette même chambre de combustion.
λ : dosage ou rapport entre la masse d’Air et la masse de Carburant
πi : taux de pression d’Injection de ce pré mélange
π0 : taux de pression de fin de combustion telle que :

π0 = 28.(πi /.πi0)0,825.(λ0 /λ)0,76

Nous avons établi que l’optimum de la Poussée moyenne était obtenu pour une valeur de : R.l/ω.v0 = 0,268

Dans ces conditions, et avec l’expression de cette poussée moyenne :

Fmoy = 675.(πi / πi0).(λ0 /λ)0,7.(ω/ω0).(v/v0)

Avec πi0 = 4, ω0 = 120 rd/s et λ0 = 15, et sachant que le coefficient de 675 reste ajustable, car seule la sensibilité des paramètres est d’importance.

Enfin, un autres paramètre d’importance est le taux de pression en fin de combustion ; sa relation avec la poussée moyenne est telle que :

Fmoy = 34,3.π0  - 193

Enfin, la relation avec le volume v0 de la chambre de combustion devient :

Fmoy = 450.v0

Il vient alors, une fois que les dimensions « R, l, v0 » , et des géométries des valves et de la chambre de combustion sont établies, alors les paramètres de commande sont :
1 – taux de pression d’injection « πi » et πi0 nominal = 4
2 - la vitesse de rotation « ω » et ω0 nominal = 120 rd/s
3 - le dosage « λ » et λ0 nominal = 15
4 - le nombre de Thermoréacteurs
5 - La combinaison propulsion Chilowsky / Thermoréacteurs point arrière

Il est bien entendu que l’optimisation en termes de consommation sera particulièrement soignée durant la phase de croisière, car la durée de la phase atterrissage/décollage représentera moins de 2% du total de la mission !

 

Pression / Poussée

Sur le schéma suivant nous pouvons suivre l’évolution de la pression et de la poussée, ainsi que de la post-combustion :
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Où l’on remarquera que la seconde partie de la géométrie où θ0 < θ < θ1, nous avons volontairement approximé par défaut le calcul de cette aire avec une droite bien que cette simplification – mais qui permet le calcul analytique -, pénalise ainsi la valeur finale de la poussée, étant entendu par ailleurs qu’on oublie toujours des pertes non calculables…

Avec la Post-Combustion, en admettant une poussée maxi de 300 N seulement, nous arrivons à une Poussée moyenne calculée toujours sur un cycle complet de 2π/3 de :

Fmoy > 800 N !

Les Thermoréacteurs qui fonctionneront en trinôme pour des questions de non pompage du compresseur, et de « lissage » de la poussée, seront donc optimisés au maximum de leur capacité, et pendant 3 minutes au plus, le temps d’atteindre une « altitude de sécurité acoustique »

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Vitesse dans la Tuyère

Une remarque sur l’évolution de la vitesse d’éjection des gaz brûlés dans la tuyère : par inertie, les gaz se détendront jusqu’à atteindre – si rien n’est fait -, une pression inférieure à la pression atmosphérique, et ainsi générer une contre-poussée :
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La post combustion
Un peu de théorie
Nous allons établir des relations qui feront apparaitre la sensibilité des paramètres fondamentaux entre la puissance du compresseur et son débit à un taux de compression optimum nécessaire pour assurer le décollage/atterrissage de l’Xplorair PX200.

La puissance de compression pour l’Air, Wcomp, a pour expression :
Wcomp = DTR4G.CP.ΔT
DTR4G = Débit d’alimentation pour 1 Thermoréacteur 4G (kg/s)
CP = Capacité calorifique à pression constante (J/kg.K)
ΔT = Augmentation de température (°K)
πi = Taux de compression
η= Rendement du compresseur
Ta = Température de l’Air (°K)
r = Constante des gaz parfait (J/kg.K)
N = Nombre total de TR4G

 

Autre expression plus utilisable :

Wcomp = (1/η).DTR4G.[γ.r.Ta/(γ-1)].[πi(γ-1)/γ - 1]

L’expression du débit devient :

DTR4G = = (3.ρa/2π).πi1/γAIR.(ω.v0)

Soit pour la puissance du compresseur, avec η = 0,85 et ρa = 1,225 kg/m3 :

Wcomp = (1/η). (3.ρa/2π).πi1/γAIR.(ω.v0).[γ.r.Ta/(γ-1)].[πi(γ-1)/γ - 1]

Wcomp (kW) = (1/η). (3.ρa/2π).πi1/γAIR.(ω.v0).[γ.r.Ta/(γ-1)].[πi(γ-1)/γ - 1]

Wcomp (kW) = 0,2.(ω.v0).[πi - πi1/γ].N

Enfin, nous avons établi (lien avec rubrique thermoréacteur) l’expression qui relie la Poussée moyenne au produit (ω.v0), et à X = R.l/ω.v0 :

Fmoy = 14.(ω.v0).[1 – Y(γ-1)/(γ+1) + 5,36.X.Y2γ/(γ+1) – 0,3.X]

Ainsi, fort de ces données d’entrée, nous pouvons établir les différentes relations qui nous permettrons d’approcher les valeurs optimum pour le dimensionnement du Thermocompresseur :

Wcomp (kW) = 124.(πii0)3,6.(Fmoy/Fmoy0)2,15

π0 = 8,6.πi00,86

Avec : πi0 = 2,5 et Fmoy0 = 450 N

Exemple de choix des paramètres


En premier lieu, c’est la poussée qui doit être assurée. Ainsi, pour un monoplace de 3500 N, les 3x3 TR4G doivent fournir une poussée totale de 4000 N, soit, pour 1 TR4G (4050/9) = 450 N. Nous avons établi qu’une poussée maxi correspondait à un X = 0,269. Mais la géométrie de la chambre de combustion, pour un volume de 1 litre (1000 cm3), un rayon »R » de valve d’échappement de 4 cm et une largeur « l » de chambre de 10 cm, impliquerait une longueur de chambre de plus de 25 cm (en tenant compte des volumes imposés pour l’allumage thermique), ce qui est beaucoup trop au regard de l’encombrement total. De fait, avec
ω = 120 rd/s, v0 = 1 litre, et X = 0,4 nous obtenons un R = 4 cm, l = 12 cm,

Remarquons que de nous « éloigner » de la valeur du X optimum = 0269 correspondant à une poussée de 450 N unitaire, nous fait perdre moins de 3% sur la Poussée ! Mais cette réduction de Poussée nous permet de rester en présence de dimensions « raisonnables »

Quelques courbes

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Sur la poste combustion

L’objectif de la poste combustion - utilisée essentiellement sur les avions militaires - est d’augmenter ponctuellement, et donc sur une durée très limitée (quelques minutes), la poussée. Bien entendu, cette augmentation se fait par injection supplémentaire de carburant dans une partie de la tuyère. De fait, la consommation croit très vite (+40%), mais l’augmentation de température (vitesse du son supérieure) permet donc une très nette augmentation de la poussée : + 40% !

Bien entendu, comme les Thermoréacteurs devront être optimisés en termes de poussée, et seulement durant 2 minutes maximum au décollage/atterrissage, ils auront aussi la fonction « post combustion ». C’est ce que permettra le Thermoréacteur de 4e Génération (TR4G).

Principe de la post combustion ou « réchauffe »
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Nous admettrons dans un premier temps, que l’augmentation de poussée en post combustion ne sera que de 20% de la poussée sans post combustion. Hors, comme dans l’exemple choisi du monoplace, nous avons arrêté la poussée moyenne par Thermoréacteur à 450 N, alors, avec post combustion nous pouvons admettre une poussée moyenne de 400 N seulement (au lieu de 375 N x 1,2 = 450 N, car il y a toujours des pertes non calculables), et ainsi ramener le taux de pression du Thermocompresseur à 2,3 au lieu de 2,5. De plus, la relation qui relie la Poussée moyenne au taux de compression a pour expression :

Fmoy = 450.(πii0)1,25

Ce qui ramène la pression à πi = 2,3 et donc une puissance du Thermocompresseur de seulement :

Wcomp (kW) = 124.(πii0)3,6.(Fmoy/Fmoy0)2,15 = 72 kW !

Et donc 2 Thermocompresseur de 36 kW chacun : Il devient raisonnable d’envisager des moteurs électrique qui fonctionneront en surpuissance durant 2 minutes maximum : temps nécessaire pour atteindre « l’altitude de sécurité acoustique »

La compression thermique
Après avoir validé par des simulations, et surtout expérimentalement, le concept de la compression thermique, nous exposerons ledit concept illustré par certains résultats. Le compresseur Xplorair pourrait alors être entraîné par des moteur électrique, et l’Xplorair sera alors doté d’un :
Compresseur Thermo-Electrique